Переход от чисел к их логарифмам и обратно требует громоздких и точных таблиц. Сначала Кеплер составлял их сам; но в 1614 году появились подробные таблицы логарифмов Чарльза Непера. За 20 лет упорного труда этот шотландец рассчитал не только логарифмы чисел, но и логарифмы значений всех тригонометрических функций: они постоянно встречаются в астрономических расчетах.

Логарифмический метод

Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня – действия, гораздо более трудоемкие, чем сложение и вычитание, особенно тогда, когда нужно работать с многозначными числами. Настоятельная потребность в таких действиях впервые возникла в XVI веке в связи с развитием дальнего мореплавания, вызвавшим усовершенствование астрономических наблюдений и вычислений. На почве астрономических расчетов и возникли на рубеже XVI и XVII веков логарифмические вычисления, а в настоящее время они применяются повсюду, где приходится иметь дело с многозначными числами. Они выгодны уже при действиях с четырехзначными числами и совершенно необходимы в тех случаях, когда точность должна доходить до пятого знака. Большая точность на практике требуется очень редко.

Ценность логарифмического метода состоит в том, что он сводит умножение и деление чисел к сложению и вычитанию – действиям менее трудоемким. Возведение в степень, извлечение корня, а также и ряд других вычислений (например тригонометрических) также значительно упрощаются.

Выясним идею метода на примерах.

Пусть требуется помножить 10 000 на 100 000. Конечно, мы не станем выполнять этого действия по схеме умножения многозначных чисел. Мы просто сосчитаем число нулей в множимом (4) и множителе (5), сложим эти числа (4+5 =9) и сразу напишем произведение 1 000 000 000 (9 нулей). Законность такого вычисления основана на том, что сомножители суть (целые) степени числа 10: множится 10ⁿ на 10^m; при этом показатели степеней складываются. Точно так же сокращенно выполняется и деление степеней десяти, здесь деление заменяется вычитанием показателей. Но так можно делить и умножать лишь немногие числа. Например, в пределах первого миллиона можно брать (не считая 1) лишь 6 чисел: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000. Чисел, допускающих подобное умножение и деление, будет гораздо больше, если взять вместо основания 10 другое, более близкое к 1. Возьмем, например, основание 2 и составим таблицу его первых 12 степеней.

Показатели степеней мы будем теперь называть логарифмами, а степени – просто числами.

Чтобы перемножить какие-либо два числа, достаточно сложить два их логарифма. Например, чтобы найти произведение 32 и 64, сложим стоящие рядом с 32 и 64 числа 5 и 6; 5+6 =11. У числа 11 находим результат: 2048. Чтобы разделить 4096 на 256, возьмем числа 12 и 8; вычитаем: 12-8 = 4. У числа 4 находим ответ: 16. Если ввести нулевую и отрицательную степени числа 2, то можно будет выполнять и деление меньших чисел на большие.

Хотя среди степеней числа 2 гораздо меньше пробелов, чем среди степеней числа 10, все же в таблице нет очень многих чисел. Поэтому практического значения и эта таблица не может иметь. Но если за основание взять число, гораздо более близкое к 1, чем число 2, то этот дефект будет устранен.

Примем, например, за основание число 1,00001. В пределах между 1 и 100 000 окажется свыше миллиона (1 151 292) его последовательных степеней. Если мы округлим значения этих степеней, сохранив лишь шесть значащих цифр, то среди миллиона округленных результатов окажутся все целые числа от 1 до 100 000. Правда, это будут лишь приближенные значения степеней. Но так как при умножении и делении пятизначных целых чисел нас будут интересовать только первые пять знаков результата, то составленные таблицы позволят перемножать, делить и т. д. пятизначные целые числа, а следовательно, и десятичные дроби, имеющие пять значащих цифр.

Именно так и были составлены первые таблицы логарифмов. Вычисление их потребовало многолетней неутомимой работы. Еще 400 лет назад этому нужно было посвятить всю жизнь. Но зато колоссально возросла производительность труда многих тысяч вычислителей, пользовавшихся раз навсегда составленными таблицами.

Швейцарец Бюрги (ок. 1590) составил первую таблицу логарифмов. Несколько позднее и независимо от него составил свои таблицы логарифмов шотландец Непер, который брал за основание число, очень близкое к единице. Но Бюрги опубликовал свою работу лишь в 1620 году, а таблицы Непера появились раньше, в 1614 году.

В настоящее время в таблицах логарифмов кладется в основание число 10, что дает ряд вычислительных преимуществ (так как наша нумерация – десятичная). При этом для получения целых чисел приходится брать дробные степени числа 10.

Идея составления таблицы десятичных логарифмов принадлежит Неперу и его сотруднику англичанину Бриггу. Они совместно начали работу по пересчету прежних таблиц Непера на новое основание 10. После смерти Непера Бригг продолжил и закончил эту работу, опубликовав ее полностью в 1624 году, поэтому десятичные логарифмы называются иначе бригговыми.

Таблицы Непера открыли путь к автоматизации всех арифметических вычислений; первым шагом в этом направлении стала привычная нам логарифмическая линейка. Ее изобрел в 1622 году англичанин Вильям Оутред, при этом он использовал десятичные логарифмы. Следующие шаги в автоматизации вычислений сделали француз Блез Паскаль (1642) и немец Вильгельм Лейбниц (1671), создавшие первые механические арифмометры, позволившие также умножать и делить многозначные числа. Следующий важный шаг в развитии вычислительной техники был сделан только в ХХ веке, когда появились компьютеры.

Цифровые механизмы

Историю цифровых устройств начать следует со счетов. Подобный инструмент был известен у всех народов. Древнегреческий абак (доска или «саламинская доска» по имени острова Саламин в Эгейском море) представлял собой посыпанную морским песком дощечку. На песке проводились бороздки, на которых камешками обозначались числа. Одна бороздка соответствовала единицам, другая – десяткам и т. д.

Если в какой-то бороздке при счете набиралось более 10 камешков, их снимали и добавляли один камешек в следующем разряде. Более поздней конструкцией была мраморная доска с выточенными желобками и мраморными шариками.

У китайцев в основе счета лежала не десятка, а пятерка, рамка китайских счетов суан-пан имеет более сложную форму. Она разделена на две части: в верхней части на каждом ряду располагаются по 5 косточек, в нижней части – по две. Таким образом, для того чтобы выставить на этих счетах число 6, ставили сначала косточку, соответствующую пятерке, и затем прибавляли одну в разряд единиц.

У японцев это же устройство для счета носило название серобян. Это IX век н. э.

Леонардо да Винчи (1452–1519) создал эскиз 13-разрядного суммирующего устройства с десятизубными кольцами. По его чертежам в наши дни американская фирма по производству компьютеров в целях рекламы построила работоспособную машину.

Шотландский математик Джон Непер (1550–1617) изобрел таблицы логарифмов, что очень упростило деление и умножение, ибо для умножения двух чисел достаточно сложить их логарифмы. Тот же Непер предложил в 1617 году другой (не логарифмический) способ перемножения чисел. Инструмент, получивший название палочки (или костяшки) Непера, состоял из разделенных на сегменты стерженьков, которые можно было располагать таким образом, что при сложении чисел в прилегающих друг к другу по горизонтали сегментах получался результат умножения этих чисел.

Вильгельм Шиккард, востоковед и математик, профессор Тюбинского университета, в письмах своему другу Иоганну Кеплеру описал устройство «часов для счета», счетной машины с устройством установки чисел и валиками с движком и окном для считывания результата. Шел 1623 год. Эта машина могла только складывать и вычитать (в некоторых источниках говорится, что могла еще умножать и делить). Это была первая механическая машина. В наше время по его описанию построена ее модель.